本文阅读简介：

  • 1、同态映射的概念
  • 2、同态和同构区别
  • 3、z15到z3的同态
  • 4、如何判断群的同态与同构
  • 5、同构和同态有什么区别,它们可以用在哪些方面?
  • 6、同态加密简介

同态映射的概念

如果两个代数结构不同构，为了研究它们之间的关系，可考虑它们之间保持运算的映射，这就是同态的概念。

同态比同构更一般、广泛；同构只是同态的特例。同态不是同构的原因主要体现在：相应的映射不是双射，即，不是单射或不是满射。当然也可能既不是单射也不是满射。当映射不是满射时，我们只需考虑映射的像集，这个像集是原来代数结构的子结构。比如，对群的情形，同态的像集是一个子群。用子结构替换原来的代数结构，原来的映射变成了满射！

当映射不是单射时，不同的元素被映到相同的元素。这时，可以把映到同一个元素的元素看成是一样的，或者说它们是等价的。这样我们将得到一个等价关系，做商集。在这个商集上诱导的映射就是一个单射了。这就是同态基本定理的主要想法。

同构映射：

1. 通俗来说，同构是指具有相同的代数结构。代数结构由一个或多个集合、若干运算及一些运算规则所唯一确定。代数结构相同的含义是指：除了表示集合元素的符号有可能不同外，对应集合的元素个数相同，集合上的运算一致，运算规则也完全一样。

2. 两个代数结构相同是指它们之间至少存在一个同构映射。同构映射要满足两个条件：它是集合之间的双射或一一对应；它保持代数结构的所有运算及一些特殊元素，比如，单位元、零元素等等，尽管有些要求可以由其它主要条件推出。

3. 举个例子，两个群之间的同构映射为集合之间的双射，且该映射保持群的乘法运算。即，先乘积后映射与先映射后乘积的结果一致。

4. 研究代数结构的主要目的是对其进行分类，或者说找出所有的这种代数结构。同构的代数结构可以不加区分，把它们可以看成一样的。因此，代数结构的分类就是找出该代数结构的所有同构类。

同态和同构区别

同态是相同的状态，同构是同分异构体。

在有机化学中，将分子式相同、结构不同的化合物互称同分异构体，也称为结构异构体。将具有相同分子式而具有不同结构的现象称为同分异构现象。

同分异构体又称同分异构物。在化学中，是指有着相同分子式的分子，各原子间的化学键也常常是相同的；但是原子的排列却是不同的。也就是说，它们有着不同的“结构式”。许多同分异构体有着相同或相似的化学性质，但如果是官能团异构的同分异构体（即官能团不同），那么化学性质不同，因为有机物的化学性质主要由官能团决定，如二甲醚和乙醇。

有机物中的同分异构体分为构造异构和立体异构两大类。具有相同分子式，而分子中原子或基团连接的顺序不同的，称为构造异构。在分子中原子的结合顺序相同，而原子或原子团在空间的相对位置不同的，称为立体异构。

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z15到z3的同态

z15和z3是IBM Z中不同型号的主机，它们之间存在同态关系。

同态是指形式上不同但在结构上相似的两个代数系统之间的保持基本运算结构的映射。在IBM Z中，同态关系通常是指在主机之间进行数据传输和运算时，由于数据格式和指令集的相同或相似，使得程序可以比较容易地进行移植和兼容。

在z15和z3之间，由于它们都是基于IBM Z架构，因此它们之间的同态关系比较紧密。例如，由于它们都支持基于ASCII码的字符集，因此在进行文本处理等任务时，可以实现数据的无缝传输和相互运算。

总之，虽然不同的IBM Z型号之间有些技术细节可能存在差异，但它们之间的同态关系仍然可以很好地发挥出来。这也使得IBM Z成为当前金融、保险、医疗等行业中的重要基础设施之一。

如何判断群的同态与同构

判断同态主要看两个群之间存不存在一个同态满射（要证明是一个映射，并满足同态性），如果这样的映射存在，则说这两个群同态。如果这个映射是一个双射（既是单射又是满射），那么这个同态就称为同构。

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同构和同态有什么区别,它们可以用在哪些方面?

区别主要在于是否是一一映射。

经典例子，“实数的加法群”到“正实数的乘法群”就是同构，映射函数是对数函数，因为是一一映射；而“实数加法群”到“复平面上单位圆上面点的乘法群”，只能是同态，映射函数是e^ix，因为映射函数是以2π为周期的周期函数，所以每个单位圆上的点可以映射过来对应无穷多个实数。

相关应用：

1. 通俗来说，同构是指具有相同的代数结构。代数结构由一个或多个集合、若干运算及一些运算规则所唯一确定。代数结构相同的含义是指：除了表示集合元素的符号有可能不同外，对应集合的元素个数相同，集合上的运算一致，运算规则也完全一样。

2. 两个代数结构相同是指它们之间至少存在一个同构映射。同构映射要满足两个条件：它是集合之间的双射或一一对应；它保持代数结构的所有运算及一些特殊元素，比如，单位元、零元素等等，尽管有些要求可以由其它主要条件推出。

3. 举个例子，两个群之间的同构映射为集合之间的双射，且该映射保持群的乘法运算。即，先乘积后映射与先映射后乘积的结果一致。

4. 研究代数结构的主要目的是对其进行分类，或者说找出所有的这种代数结构。同构的代数结构可以不加区分，把它们可以看成一样的。因此，代数结构的分类就是找出该代数结构的所有同构类。

5. 如果两个代数结构不同构，为了研究它们之间的关系，可考虑它们之间保持运算的映射，这就是同态的概念。同态比同构更一般、广泛；同构只是同态的特例。

6. 同态不是同构的原因主要体现在：相应的映射不是双射，即，不是单射或不是满射。当然也可能既不是单射也不是满射。当映射不是满射时，我们只需考虑映射的像集，这个像集是原来代数结构的子结构。比如，对群的情形，同态的像集是一个子群。用子结构替换原来的代数结构，原来的映射变成了满射！

7. 当映射不是单射时，不同的元素被映到相同的元素。这时，可以把映到同一个元素的元素看成是一样的，或者说它们是等价的。这样我们将得到一个等价关系，做商集。在这个商集上诱导的映射就是一个单射了。这就是同态基本定理的主要想法。

8. 在这个商集上可以定义类似的代数结构，使得前面提到的映射是同态。从这个商代数到上述提到的子代数诱导的映射就是一个同构映射了。

同态加密简介

同态加密是数据加密方式的一种，特点是允许数据在加密情况下实现数学或逻辑运算。

同态加密通常为非对称性加密。因此在介绍同态加密之前，简单介绍一下非对称性加密。非对称性加密分为三个步骤：

1. 生成一对钥匙，一个公钥pub和一个密钥priv；

2. 使用公钥pub加密原始数据，得到加密数据，公式：pub(原始数据）= 加密数据 ；

3. 使用密钥priv解密加密数据，得到原始数据，公式：priv( 加密数据 ）= 原始数据 ；

同态加密允许对 加密数据 进行处理，得到的解密结果等价于在原始数据下做运算。以联邦学习用到的Paillier算法举例，假设我有两个数 和 ，我希望把它们扔给第三方做加法运算，即 。同时不希望第三方知道 、 及它们之和的具体值，同态加密可以派上用场，具体步骤如下：

1. （本地）生成一对钥匙，公钥pub和密钥priv，公钥用于加密，密钥用于解密；

2. （本地）使用公钥pub分别加密 和 ，得到 ( )和 ( )；

3. （第三方）使用 函数处理 和 ，即 ；

4. （本地）使用密钥priv解密 ，即 ；

4中  =  。第三方通过上述步骤3实现了 和 在加密状态下做加法的操作。

为了更直观认识上述步骤，假设 =100， =200，步骤就变成：

1. （本地）生成一对钥匙，公钥pub和密钥priv，公钥用于加密，密钥用于解密；

2. （本地）使用公钥pub分别加密 和 ，得到 =1234， =4321 (举例）；

3.（第三方） 使用 函数处理 和 ，即 =12345678;

4. （本地）使用解密priv解密 ，得到  = 300。

第三方在不知道 =100和 =200，但是通过 函数依然可以在加密情况下实现相加运算。